Il debutto dell’ultimo adattamento televisivo del pluripremiato romanzo sci-fi «Il problema dei tre corpi», di Liu Cixin, offre l’occasione per parlare scientificamente del celebre problema studiato in meccanica celeste.
Molti avranno sentito parlare delle leggi di Keplero (probabilmente a scuola e loro malgrado): tre regoline che, nella terminologia pomposa dei matematici, spiegano il movimento dei pianeti intorno al Sole. Le stesse leggi, in realtà, valgono per ogni sistema che vede due masse orbitare l’una intorno all’altra, sotto l’azione della gravità reciproca. Valgono per un pianeta e il Sole, per un satellite (naturale o artificiale) e un pianeta, per coppie di stelle e via discorrendo. Con molta fantasia, la descrizione di un tale sistema viene definita problema dei due corpi.
La legge della gravità del buon Newton è bellissima, di un’eleganza e semplicità ammirevoli. E usarla per calcolare il moto di due corpi non pone grosse difficoltà. Nel gergo degli specialisti si dice che il problema dei due corpi ammette una soluzione generale in forma chiusa. In altre parole, note le condizioni del sistema in un certo istante, è sempre possibile calcolare il modo in cui si muoveranno le due masse in un periodo di tempo qualsiasi.
Potremmo pensare che aggiungere una massa non comporti chissà quali complicazioni: che sarà mai descrivere la danza gravitazionale di tre corpi? Ebbene, ecco una delle tante occasioni dove il nostro buon senso viene smentito. Iniziando a fare i conti della serva sul problema dei tre corpi (caso base del più generico problema degli n-corpi, assumendo n maggiore o uguale a 3) ci ritroviamo con un insieme di equazioni alquanto sbarazzine. Volendo fare contenti i masochisti che su questa roba ci lavorano, diremo che il problema dà luogo a un sistema di equazioni differenziali simmetriche non lineari fortemente accoppiate. E sì, è veramente brutto come sembra. Ma che significa?
In breve, che sono guai seri. In una situazione del genere, infatti, fa capolino un fenomeno il cui nome dice già tutto, ovvero il cosiddetto caos deterministico. Capiamoci, «caos» non vuol dire assenza di regole o violazione del principio di causa ed effetto: il sistema evolve sempre e comunque in funzione del suo stato di partenza (ecco perché è «deterministico»). Un sistema caotico viene così definito in quanto le equazioni che ne descrivono il comportamento sono sensibilissime alle condizioni iniziali. Basta cioè la più piccola differenza nei parametri iniziali che caratterizzano il sistema perché questo, dopo un tempo sufficientemente lungo, evolva in maniera del tutto diversa dalle aspettative. Minime perturbazioni tendono ad amplificarsi esponenzialmente al passare del tempo, facendo infine divergere l’incertezza riguardo la successiva evoluzione.
Se state pensando al famigerato effetto farfalla, siete sulla giusta strada. Esistono moltissimi esempi di sistemi caotici, tra cui l’atmosfera terrestre. Il battito d’ali di una farfalla rappresenta, appunto, quella minima variazione nelle condizioni iniziali che su tempi abbastanza grandi (diciamo di cinque giorni o giù di lì) portano il sistema a evolvere in direzioni imprevedibili. Tornando al nostro problema dei tre corpi, possiamo dire più esattamente che non ne esistono soluzioni generali in forma chiusa conosciute.
Quindi è tutto perduto? Be’, no. Si possono sempre trovare delle soluzioni particolari del problema, oppure cercare di affrontarlo per via numerica mediante un computer. Eulero, per esempio, trovò una soluzione in cui i tre corpi orbitano intorno al comune baricentro restando allineati su una stessa retta, mentre nella soluzione di Lagrange le masse si muovono formando i vertici di un triangolo equilatero. Potete lasciarvi ipnotizzare dai moti di un sistema di tre corpi, descritti da certe soluzioni particolari, guardando questa animazione.
Generalmente, però, nel sistema insorgeranno delle instabilità. Un pianeta che orbita intorno a una stella binaria potrebbe essere espulso nello spazio interstellare, subire drastici cambiamenti orbitali o precipitare su uno dei suoi soli, senza che ciò possa essere predetto con largo anticipo dagli eventuali, sfortunati abitanti.
Concezione artistica di un esopianeta gioviano, osservato da una delle sue lune, all’interno di un sistema con tre stelle.
Crediti: NASA/JPL-Caltech
Per questo si ritiene che i sistemi stellari multipli non siano luoghi ideali per ospitare forme di vita complesse: i pianeti al loro interno potrebbero non avere orbite stabili per archi di tempo abbastanza lunghi.
Esempi di sistemi gravitazionali caotici si trovano anche più vicino a noi. Le lune minori di Plutone hanno orbite instabili, disturbate dal fatto che il pianeta nano forma un sistema doppio centrale con la grande luna Caronte. Ma sembra che anche lo stesso sistema solare abbia una natura fondamentalmente caotica, contenendo ben più che due singoli corpi gravitanti. Asteroidi e comete possono seguire orbite quasi circolari, restandosene confinati nella fascia tra Marte e Giove o nelle regioni oltre Nettuno, per un milione di anni; e poi, all’improvviso, deviare su una traiettoria completamente diversa ed eccentrica, magari incrociando l’orbita di qualche pianeta e mettendolo a rischio di spiacevoli impatti. Possiamo essere sufficientemente sicuri che la Terra non modificherà la propria orbita per un intervallo di tempo piuttosto lungo, tuttavia nessuno garantisce che da qui a un miliardo di anni la sua orbita non possa accavallarsi a quella di Venere portando i due pianeti a collidere!
Un approccio semplificato alla questione, che trova notevoli applicazioni nello studio del sistema solare e nell’esplorazione spaziale, prende il nome di problema ristretto dei tre corpi. La premessa è semplice: una delle tre masse è così piccola in rapporto alle altre due da poter essere trascurata. Un sistema che soddisfi tale requisito può essere costituito da Sole, Terra e un veicolo spaziale, oppure da due stelle e un piccolo esopianeta, o ancora dal Sole, un pianeta e un asteroide. Insomma, per dirla brutalmente, si hanno due masse principali e una che in confronto è quasi insignificante. E, perché no, rendiamoci la vita ancora più facile supponendo che le orbite siano circolari anziché ellittiche (del resto, l’orbita circolare è un caso molto speciale di orbita ellittica).
Mettendosi di buona lena a fare i calcoli si può scoprire un fatto interessante: nel sistema dei tre corpi esistono cinque posizioni, chiamati punti di Lagrange, dove le forze in gioco – gravità delle due masse maggiori e forze centrifughe – si annullano. Questi punti sono pertanto delle posizioni di equilibrio, dove un oggetto non verrebbe disturbato da alcuna forza esterna.
I cinque punti di Lagrange per il sistema Terra-Sole. Tre di essi (L1, L2 e L3) sono allineati alle due masse principali, mentre gli altri due (L4 e L5) formano con queste ultime i vertici di due triangoli equilateri.
Crediti: ESA
Tre punti si trovano sulla retta che unisce le due masse principali: uno è nello spazio tra di esse, in bilico tra le forze gravitazionali di entrambe, e viene indicato con L1; gli altri, chiamati L2 e L3, sono verso l’esterno, oltre ciascuna massa, in equilibrio tra la gravità combinata delle due e la forza centrifuga dovuta alla rotazione del sistema. L1, L2 e L3 sono detti punti collineari.
Poi ci sono i punti L4 e L5, ognuno dei quali forma un triangolo equilatero avente come vertici il punto stesso e le due masse principali. In altre parole L4 e L5 condividono la stessa orbita (circolare) della seconda massa più grande, precedendola o seguendola di 60° rispetto al segmento che la congiunge alla massa primaria. Essi prendono il nome di punti triangolari.
Con qualche barbatrucco matematico si può anche determinare se l’equilibrio offerto dai punti di Lagrange sia stabile o instabile. (Un equilibrio stabile è come quello di una biglia sul fondo di un catino: se perturbata, essa compie piccole oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio, finendo per ritornarci. Un equilibrio instabile è quello di una matita in bilico sulla punta: basta il minimo disturbo ad allontanarla definitivamente da quella posizione, facendola cadere.)
Si scopre che i punti collineari (L1, L2 e L3) sono di equilibrio instabile. Insomma, se un asteroide o una navicella spaziale finisse temporaneamente in uno di questi, non vi resterebbe a lungo. Alcuni osservatori solari dallo spazio vengono comunque posizionati nei pressi del punto L1, tra la Terra e il Sole, per poter studiare la nostra stella ininterrottamente; così come alcuni telescopi spaziali, quale il James Webb, vengono situati dietro al nostro pianeta rispetto al Sole, in orbita al punto L2. La posizione, in casi simili, viene mantenuta grazie ad appositi propulsori che correggono i piccoli spostamenti.
Per i punti triangolari la faccenda è più ingarbugliata. Diciamo che per certi valori delle masse principali, anch’essi sono instabili. Per altri valori, invece, risultano approssimativamente stabili. Non è un caso che alcuni pianeti (soprattutto Giove, ma anche la Terra) abbiano degli asteroidi, definiti troiani, che ne condividono le orbite standosene nei punti L4 e L5 del sistema Sole-pianeta! Ma la stabilità effettiva di L4 e L5 rimane tuttora una questione aperta della meccanica celeste.
Approfondimenti
- A numerical experiment on the chaotic behaviour of the Solar System
- Chaotic behavior and the origin of the Kirkwood gap
- Chaotic Evolution of the Solar System
- Fisica Matematica I, in particolare La gravitazione da Keplero a Newton, pp. 241-253
- H. Goldstein, C. Poole, J. Safko, «Meccanica classica», 2ª ed. it. Zanichelli, Bologna 2005, pp. 115-120
